Mathématiques de base Exemples

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{a^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{a^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a - 2}{a + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{a - 2}{a + 3} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{a - 2}{a + 3}$ par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(a - 2) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a - 2) (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(a - 2) (a - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a - 3) - 2 (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 2 (a - 3) + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot - 3 - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $a$ .

$\frac{a^{2} - 3 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 3 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 2 a + 6 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 5 a + 6 + 10 a}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.3

Additionnez $- 5 a$ et $10 a$ .

$\frac{a^{2} + 5 a + 6}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 4.4

Factorisez $a^{2} + 5 a + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a + 2) (a + 3)}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $a + 3$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 2) (a + 3)}{(a + 3) (a - 3)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 2}{a - 3}$